Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Первое уравнение системы не меняется при замене на и/или на Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой отрезок, соединяющий точки и Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем ромб вершинами ,

Второе уравнение системы может быть записано в виде Оно задаёт окружность с центром радиуса или точку , если При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.

а) И ромб, и окружность симметричны относительно оси абсцисс, следовательно 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку или отрезку , т.е. или Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при решений. Значит, 3 решения возможны только при

б) Пусть – радиус той окружности, которая касается сторон и , a радиус той окружности, которая касается сторон и ромба. Система имеет ровно два решения в том и только том случае, когда . Пусть окружность радиуса касается стороны в точке , а окружность радиуса касается стороны в точке Треугольник прямоугольный, равен угловому коэффициенту прямой , т.е. Тогда По теореме Пифагора для треугольника получаем , откуда Поскольку треугольники и подобны и коэффициент подобия равен , то Окончательно получаем