Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Заметим, что первое уравнение при замене на или на не меняется. Тогда график этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей. При и это уравнение имеет вид — луч с началом в точке и угловым коэффициентом Используем симметрию и строим график этого уравнения, получаем два угла: с вершиной в точке и с вершиной в точке и угловыми коэффициентами лучей

Во втором уравнении выделим полный квадрат Тогда это уравнение можно записать так:

Оно задает окружность с центром в точке и радиусом (в случае — это точка ).

(a) Окружность и график первого уравнения симметричны относительно оси Тогда три решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси этой оси. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку или отрезку Так как и то получаем или Видно, что при этих есть еще две общие точки со сторонами угла с вершиной в точке поэтому любое или подходит.

(b) Система дает два решения, если окружность касается угла с вершиной или имеет радиус, больший но меньший Мы уже знаем и так что осталось найти этот радиус (обозначим его ). Для этого опустим перпендикуляр на сторону угла с вершиной в точке Пусть — угол наклона прямой ( Тогда Так как то По теореме Пифагора для получаем Тогда