Тема . Задачи с параметром

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39866

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 x + a|x− a|=8x − 15

имеет решение. Для каждого из найденных значений укажите число решений уравнения.

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что надо заметить в этой задаче, — это то, что, кажется, она нормально не решается аналитически. Значит, наверное, можно решить её графически! Если сделать одно преобразование, станет понятно, почему и как задача решается графически!

Подсказка 2

Конечно, надо оставить слагаемые с параметром в одной части уравнения, а остальные перекинуть в другую. Тогда в одной части образуется уравнение параболы, а в другой — понятный график модуля! Построим график параболы, а также подумаем, как меняется график модуля при изменении параметра. Может, это натолкнёт нас на интервалы для параметра, которые стоит рассматривать...

Подсказка 3

При a < 0 ветви у модуля идут вниз, а при увеличении параметра они постепенно поднимаются вверх и становятся всё ближе друг к другу! Кроме того, при увеличении параметра вершина модуля (a; 0) движется по оси абсцисс вправо. Тогда ключевыми точками будут a = 0, a = 3 и a = 5. Осталось только рассмотреть интервалы для параметра и в каждом из них узнать наличие решений, а также их количество :)

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать так:

2 a|x− a|= −x +8x− 15

График правой части представляет собой параболу $y =− x2+8x− 15$ ветвями вниз, пересекающую ось $Ox$ в точках $(3;0)$ и $(5;0)$ . Рассмотрим теперь график левой части $y = a|x− a|$ при разных значениях параметра.

$a <0$ . Имеем «галочку» ветвями вниз с вершиной в точке $(a;0)$ , правая ветка которой при данных значениях параметра пересекает параболу дважды.
$a =0$ . Горизонтальная прямая, совпадающая с осью $Ox.$ Пересечение нашли выше, получаем также два решения.
$0 <a <3$ . Ветви «галочки» направлены вверх, но только правая ветвь $x ≥a$ пересекается с параболой, поэтому решения есть только в случае
$a(x− a)= −x2+ 8x − 15,x− a≥0$

$x2+x(a− 8)+(15− a2)= 0,x ≥a$
Необходимо и достаточно проверить $x≥ a$ для меньшего корня, тогда будет выполнено и для большего
$8− a− ∘5a2−-16a-+4 ≥2a$

$∘ ---------- 8− 3a≥ 5a2 − 16a+ 4$

$(|{ 8− 3a≥0 5a2− 16a+ 4≥ 0 |( 64− 48a+ 9a2 ≥ 5a2− 16a+4$

$( 8 ||{ a≤ 3( 8−2√11] [8+2√11 ) || a∈ 0;--5---∪ ---5--;3 ( 4a2− 32a+ 60≥ 0 ⇐ ⇒ a∈(−∞, 3]∪ [5,+∞ )$
После пересечения остаётся только $( √--] a∈ 0;8−-2511-,$ потому что $√-- 8+25-11-> 8∕3.$
$a =3,a= 5$ . В каждом случае ровно одно решение, поскольку коэффициенты наклона ( $3$ и $5$ ) больше модулей наклона касательных в $x= 3$ и $x= 5$ , которые равны $1.$
$3 <a <5$ . Здесь ветви направлены вверх и каждая пересекает дугу параболы выше оси абсцисс, то есть всегда два решения.
$a >5$ . Решаем аналогично $0 <a <3$ , здесь $x≤ a$ , потому что пересекать может только левая ветка галочки.
$2 2 x − (a+ 8)x+ 15+ a = 0$
Решения могут быть только при неотрицательном дискриминанте
$[ √-- √--] − 3a2+ 16a+4 ≥0 ⇐ ⇒ a ∈ 8−-2-19,8+-2-19 3 3$

$( 8+2√19] a∈ 5,--3----$
Проверим $x ≤a$ для большего корня (для меньшего тогда тоже выполнится)

$8+ a+∘ −3a2+-16a-+4≤ 2a ⇐⇒ ∘−-3a2-+16a+-4≤ a− 8$
Должно быть $a≥ 8$ , но уже это неверно для полученного полуинтервала для неотрицательного дискриминанта. В итоге в этом случае решений нет.

Ответ:

$a ∈(−∞; 8−2√11]∪ [3;5] 5$ :

При $8−2√11 a= ---5--,a =3,a= 5$ решение одно,

при прочих найденных решений два.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ