Графика. Отрезок, ромб, квадрат
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции 
. Известно, что одна из
диагоналей квадрата лежит на прямой 
, а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра 
и площадь
квадрата.
Источники:
Подсказка 1
Во-первых, давайте заметим, что наша функция нечётная, а потому она центрально-симметрична. Если одна диагональ имеет угол наклона -4, а диагонали перпендикулярны, то какой угол наклона имеет другая диагональ?
Подсказка 2
Верно, с тангенсом 1/4. Если x₀ — абсцисса точки B, которая лежит в 4-ой четверти, то её ордината имеет значение -4x₀. При этом у точки квадрата, которая лежит в первой четверти, то её координаты это (4x₀, x₀). Что даёт нам тот факт, что мы знаем, что две точки лежат на графике x³ + ax? Что это значит для поиска площади?
Подсказка 3
Значит, можно подставить эти два значения в уравнение графика и поскольку точки принадлежат графику, то и подставив значения, мы получим равенство. Откуда можно найти и а, и х₀. А найти диагональ (чтобы найти площадь) совсем нетрудно, если мы знаем про нечётность функции (про симметричность координат противоположных точек)
Пусть 
и 
— вершины квадрата, лежащие в первой и четвёртой четвертях соответственно; 
— начало координат.
По условию точка 
лежит на прямой 
. Если 
— абсцисса точки 
, то 
, а координаты точки 
— это
. Так как точка 
получается из 
поворотом на 
против часовой стрелки вокруг точки 
то её координаты
. Поскольку обе точки лежат на графике 
, получаем и решаем систему уравнений (учитываем, что
)
Пусть 
— половина диагонали квадрата. Тогда
Площадь квадрата 
равна полупроизведению его диагоналей, то есть
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
