Тема . Задачи с параметром

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101475

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ 7a− 30cost+3 ≤0 5sint+ a+ 1+ |cost|+ |5cost−-4|= 0 2 2cost 5cost− 4

имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a.$

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем следующие замены: $x =5cost,y = 5sint,x2+y2 =25.$

Имеем

(| |{ 7a−1 6x|x+| 3≤|x−0,4| ||( y+ a+ 22 + 2x2 + x−4 = 0, x + y = 25.

Система распадается на совокупность трёх систем:

(| 7a − 6x+ 3≤ 0, (| 7a − 6x+ 3≤ 0, { x> 4,y =− a− 2, ⇔ { x> 4,y = −a− 2, |( x2 +y2 = 25, |( x2 +(a+ 2)2 = 25.

(| 7a− 6x+ 3≤ 0, (| 7a− 6x+ 3≤ 0, { 0< x< 4,y =− a,⇔ { 0< x< 4,y =− a, |( x2+y2 = 25, |( x2+a2 = 25.

(| 7a − 6x+ 3≤ 0, (| 7a− 6x+ 3≤ 0, { x< 0,y = −a+ 1 ⇔ { x< 0,y =− a+1, |( x2 +y2 = 25, |( x2+ (a− 1)2 = 25.

В системе координат $Oxa$ изобразим решение системы

(|| 7a − 6x+ 3≤ 0 ||{ ⌊ x> 4,x2+ (a+2)2 = 25 || |⌈ 0< x< 4,x2+a2 =25 ||( x< 0,x2+ (a− 1)2 = 25

$PIC$

$1)$ Имеем решение $∘ --------2- x= 25− (a+ 2) при a∈ (− 5;1).$

Тогда

∘------------ cost= 1− ((a+ 2)∕5)2

y = −a− 2

sint= −(a+ 2)∕5

Откуда получается, что

t=− arcsin((a +2)∕5)+ 2πn, n∈ Z

При записи же ответа через $arccos$ нужно учитывать знаки $sint= −(a+ 2)∕5$ , т.е. $\text{[math]}$ при $a∈ (− 5;−2]$

∘------------ t =arccos 1 − ((a +2)∕5)2+ 2πn,n ∈Z

а при $a∈ (−2;1)$ имеем

∘------------ t=− arccos 1− ((a+ 2)∕5)2+ 2πn,n∈ Z

$2)$ Имеем решение $√ ------ x = 25− a2$ при $a∈ (− 5;−3)$ . Тогда

∘-------2 cost= 1− (a∕5)

y = −a

sint= −a∕5

Откуда получается, что

t= − arcsin(a∕5)+ 2πn, n∈ Z

или

∘-------- t=arccos 1 − (a∕5)2+ 2πn,n ∈Z

3) Имеем решение $---------- x= −∘ 25 − (a− 1)2$ при $a∈ (−4;−3]$ . Тогда

∘ ------------ cost= − 1− ((a− 1)∕5)2

y = −a+ 1

sint= −(a− 1)∕5

Откуда получается, что

t= π+ arcsin((a− 1)∕5)+ 2πn, n∈ Z

или

∘ -----------2 t= π− arccos 1− ((a− 1)∕5) +2πn,n∈ Z

Ответ:

$a ∈(−5;1)$

$1)$ при $a∈ (− 5;−4]$ имеем $t1 = − arcsin((a+ 2)∕5)+2πn,t2 =− arcsin(a∕5)+ 2πn, n∈ Z;$

$2)$ при $a∈ (− 4;−3)$ имеем $t1 = − arcsin((a+ 2)∕5)+2πn,t2 =− arcsin(a∕5)+ 2πn,$ $t3 =π +arcsin((a− 1)∕5)+ 2πn, n ∈Z;$

$3)$ при $a= −3$ имеем $t1 = arcsin(1∕5)+ 2πn,t2 = π− arcsin(4∕5)+ 2πn, n∈ Z;$

$4)$ при $a∈ (− 3;1)$ имеем $t1 = − arcsin((a+2)∕5)+2πn, n ∈Z.$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse