Тема Задачи с параметром

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98819

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

4 2 a(4− sinx) − 3+cos x+a >0

выполняется для всех $x.$

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

--3− cos2-x- a > 1+(4− sinx)4

Обозначим правую часть за $f(x).$ Заметим, что требование $a >f(x)$ при любом $x$ означает

a> maxf(x).

Ясно, что при всех $x$

3− cos2x≤ 3,|4− sinx|≥ 3,

поэтому

3 f(x)≤ 1+34,

причём равенство достигается, например, при $x = π2.$ Поэтому

maxf(x)= 3- 82

Ответ:

$( 3-;+∞) 82$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#43117

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2 2 x − (a+2)x − 2ax +4a = 0

имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений $a$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Нам дано уравнение относительно х с параметром а. Давайте попробуем посмотреть на это, как на уравнение относительно а. Что это будет?

Подсказка 2!

В точности квадратное уравнение. Давайте запишем его решения. То есть выразим а через х с помощью дискриминанта.

Подсказка 3!

Итак, 8а = х^2+ 2х +-(х^2-6х) А затем заметим, что а очень красиво выражается тогда через х. В одном из случаем получаем а = х. А что со вторым?

Показать ответ и решение

Если рассмотреть уравнение как квадратное относительно $a$ :

2 2 3 2 4a − a(x + 2x)+ x − 2x =0

Дискриминант равен

2 2 3 2 2 2 2 2 x (x+ 2) − 4⋅4⋅(x − 2x )= x (x + 4x+ 4− 16x+ 32)=x (x − 12x+ 36)

Тогда $8a =x2+ 2x± (x2− 6x),$ откуда $a= x$ или $4a= x2− 2x.$

Дискриминант второго (квадратного относительно $x$ ) уравнения равен $1+ 4a$ , потому при $a≥ − 1 4$ также есть корни $x =1± √1-+4a$ .

Ответ:

$a$ при любых $a ∈ℝ;$

$√ ----- 1± 1+4a$ при $1 a≥ −4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#43121

Для каждого неотрицательного значения параметра $a$ найдите множество решений неравенства

3 4 2 2 a x + 6ax − x+ 9a+3 ≥0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Параметр а у нас в кубе, не получается применить обычный трюк с квадратным уравнением. Давайте для начала применим другой, попробуем сделать замену и получить квадратное уравнение!

Подсказка 2!

Итак, для начала пусть а = 0, тогда легко найти, какой х. Теперь рассмотрим когда а>0 и домножим на а наше неравенство! Какую бы сделать замену, чтобы получить квадратное уравнение относительно а....

Подсказка 3!

Ага! Например, с = ах. Попробуйте теперь переписать наше условие с такой заменой, получив квадратное уравнение на а. Найдем у него корни с помощью дискриминанта...

Подсказка 4!

А теперь запишем наше уравнение с использованием этих корней (разложим на множители). У нас все еще неравенство, но слева теперь не страшное уравнение, а две скобки. Осталось осторожно их рассмотреть и получить ответ!

Показать ответ и решение

При $a= 0$ имеем $x ≤3$ . Далее $a> 0$ , домножим обе части на положительное $a$ и сделаем замену $ax= p$

4 2 2 2 2 4 p + 6ap − p+ 9a +3a≥ 0 ⇐⇒ 9a +a ⋅3(2p +1)− p+p ≥ 0

Найдём дискриминант $D =9(4p4 +4p2+ 1)− 36(p4− p)= (6p+ 3)2$ , выражаем корни $a= p−p2,− p2+p+1 3 3$ , откуда неравенство принимает вид

( p−-p2)( p2-+p+-1) 9 a− 3 a+ 3 ≥0

В силу $a> 0$ вторая скобка всегда положительна, потому неравенство эквивалентно

p− p2 a − -3---≥0 ⇐⇒ p2− p+ 3a ≥0 ⇐ ⇒ x2a2− ax +3a≥ 0 ⇐⇒

⇐ ⇒ x2a− x+ 3≥ 0, D =1− 12a≥ 0

Решения при $a< 112$ будут $( 1−√1−12a] [1+ √1−-12a ) − ∞,---2a-- ∪ --2a---,+∞$ . Если же $a ≥112$ , то неравенство выполнено при всех значениях $x$ .

Ответ:

$(|| x≤ 3 a= 0 { (−∞, 1−-√1−12a]∪[1+√1−12a,+∞ ) a∈ (0,-1) ||( 2a 2a a ≥-112 x∈ ℝ 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43203

Найдите все $x$ , при которых неравенство

3 2 2 (a+ 2)x − (1+ 2a)x − 6x+ a +4a− 5> 0

выполняется хотя бы для одного $a∈ [−2;1]$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте запишем это страшное неравенство просто как квадратное относительно а. Формулировка "хотя бы для одного а имеет решение" неудобная, давайте сначала найдем, при каких а оно не имеет решений, то есть для любых а верно противоположное неравенство.

Подсказка 2!

Но искать дискриминант у такого неравенства нам всё равно, конечно, не хочется... Давайте воспользуемся методом гвоздей в параболе! Для этого нам надо зафиксировать знак параболы в интересующих нас точках -2 и 1.

Подсказка 3!

Да, мы хотим понять, при каких х в граничных точках отрезка (а = -2 и а = 1) наша парабола принимает неположительные значения. Осталось только аккуратно разобраться, какие х подходят нам в ответ к ИСХОДНОЙ задаче, а какие нет!

Показать ответ и решение

Найдём сначала такие $x$ , при которых неравенство не выполнено ни для какого $a∈ [−2;1]$ , то есть для любых $a∈ [−2;1]$ верно

2 3 2 3 2 a + (x − 2x + 4)a+ 2x − x − 6x− 5≤ 0

При любом фиксированным $x$ левую часть можно рассматривать как параболу ветвями вверх относительно $a$ . Она принимает только неположительные значения на отрезке тогда и только тогда, когда она имеет два корня и этот отрезок располагается между её корнями. Для этого необходимо и достаточно, чтобы значения параболы на концах данного отрезка были неположительны. То есть

{ 4 − 2x3+ 4x2 − 8+ 2x3− x2 − 6x− 5= 3(x +1)(x − 3)≤ 0 3 2 3 2 1 +x − 2x +4 +2x − x − 6x− 5= 3x(x +1)(x − 2)≤ 0

Откуда $x∈{− 1} ∪[0,2]$ .

Итак, при этих значениях $x$ неравенство не выполнено ни для кого $a ∈[− 2;1]$ , иначе же найдётся такое $a$ . Итого дополнение даёт $x ∈(−∞;− 1)∪ (− 1;0)∪ (2;+∞ )$ .

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(−1;0)∪ (2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100193

Андрей выбирает случайным образом целое число $a$ из отрезка $[−5;6]$ и после этого решает уравнение

3 2 3x − (3a− 4)x − (2a− 3)x +a+ 2= 0.

Найдите вероятность того, что Андрей получит три различных корня, из которых как минимум два будут целыми, если точно известно, что при вычислениях он не ошибается.

Показать ответ и решение

Так как

3 2 ( 2 ) 3x − (3a− 4)x − (2a− 3)x+ a+ 2= (x+ 1) 3x − (3a − 1)x+ a+2 ,

то $x= −1$ будет корнем при всех $a$ . Решим в целых числах уравнение

2 3x − (3a− 1)x+ a+ 2= 0

Его удобно записать в виде $a(3x− 1)=3x2+ x+ 2$ или

3x2+ x+ 2 x(3x− 1)+ 23(3x− 1)+ 83 2 8 a = -3x−-1--= -------3x-− 1------ =x + 3 + 3(3x−-1)

Поэтому $3a =3x+ 2+ 38x−-1$ , и значит, $3x− 1$ равно одному из чисел $±1,±2,±4,±8$ . В итоге получаем целые решения: $x =1$ , если $a =3; x =3$ , если $a= 4; x =0$ , если $a= −2; x =− 1$ если $a= −1$ .

Таким образом, при всех $a$ , кроме а равному $3,4,− 2$ и -1 , исходное уравнение имеет один целый корень $x =− 1$ а других целых корней не имеет.

При $a= 3$ уравнение имеет целые корни $x =− 1,x =1$ и корень $x= 53$ .

При $a= 4$ уравнение имеет целые корни $x =− 1,x =3$ и корень $x= 23$ .

При $a= −2$ уравнение имеет целые корни $x= −1,x =0$ и корень $x= − 73$ .

При $a= −1$ уравнение имеет два корня: $x= −1$ и $x =− 13$ .

Поэтому три различных корня, из которых два будут целыми, получаются в 3 случаях из 12. Вероятность равна $312 = 14$ .

Ответ:

$1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43118

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

4 2 2x − 7ax +5a = 0

имеет хотя бы один целый корень?

Источники: ОММО-2013, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Относительно х видим какое-то непонятное уравнение 4-ой степени, а относительно а? Квадратное уравнение! Давайте посчитаем дискриминант и поймем, при каких х существуют решения?

Подсказка 2!

Верно, чтобы дискриминант показывал наличие корней, мы хотим чтобы у нас он был больше или равен нулю. Вспомните, что х целый по условию и найдите, чему он может быть равен!

Показать ответ и решение

Запишем дискриминант относительно $a$

2 4 2 2 D =49x − 40x =x (49 − 40x )≥0

Решения есть только при $x∈ {0,±1}$ (не забываем, что $x$ целый). Подставим $x= 0$ , получим единственное решение $a= 0$ . При $x =1$ имеем $a= 7±3= {1,2} 10 5$ . При $x= −1$ $a∈{− 1,− 2} 5$ .

Ответ:

$0;±2;±1 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90947

Найдите все такие значения величины $x$ , при которых неравенство

2 (4− 2a)x + (13a− 27)x +(33− 13a)> 0

выполняется для всех $a$ , удовлетворяющих условию $1< a< 3.$

Источники: Вступительные на биологический факультет МГУ, 1994 год июль, номер 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким является данное неравенство относительно а?

Подсказка 2

Линейным! Тогда нам просто нужно записать его в виде k(x)a + b(x) > 0 и посмотреть, при каких значениях х в решения данного неравенства будут входить нужные нам ашки (не забудьте, что нам важно, какого знака выражение k(x)!)

Показать ответ и решение

Эта задача может запутать обозначением переменных. Тут параметр – $x,$ а независимая переменная – $a!$ Тогда перепишем исходное неравенство: