Экстремальные задачи в планиметрии

Введём обозначения, как на чертеже:

Первое решение.

Так как угол альфа острый, то максимизация угла равносильна максимизации его тангенса, поскольку функция монотонно возрастает на интервале По формуле тангенса разности

Далее можно оптимизировать с помощью производной, но мы воспользуемся тривиальной оценкой откуда

причём равенство достигается при Отсюда оптимальное расстояние для максимизации угла равно

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим окружность, проходящую через точки и касащуюся в точке перпендикуляра к из точки Угол равен половине градусной меры дуги . Для любой точки прямой , отличной от точки и лежащей в одной полуплоскости с ней относительно , угол равен полуразности дуг и т.е. меньше:

Для точек прямой , лежащих в другой полуплоскости относительно можно провести следующее рассуждение: рассмотрим вторую окружность через , касающуюся , назовем точку касания . Тогда по аналогичной причине угол больше либо равен углу . Но при этом угол меньше , т.к. они опираются на равные хорды, а радиус второй окружности больше.

Итак, равен отрезку касательной из точки По теореме о касательной и секущей

Замечание. На самом деле это наглядный пример задачи на условный экстремум: мы ищем экстремум угла как функции и ставим условие, что он лежит на прямой А в точке экстремума градиенты у линии уровня искомой функции (по сути окружности, потому что ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой — данным отрезком — без концов данного отрезка) и условия (принадлежности прямой) пропорциональны, так что линии уровня касаются в точке оптимума, поэтому окружность и должна касаться прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. В оптимальной конструкции образуется прямоугольный треугольник, длина высоты которого служит ответом:

Возможно, у задачи также имеется изящное решение с идеями геометрической оптики через дополнительное построение — симметрию экрана относительно уровня глаз.