Экстремальные задачи в планиметрии
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольник 
, в котором сумма сторон 
и 
в 
раз больше стороны 
, вписана окружность, касающаяся сторон
и 
в точках 
и 
соответственно. Отношение площади треугольника 
к площади треугольника 
равно 
.
Найдите при данных условиях:
а) наименьшее значение 
;
б) все возможные значения 
.
Источники:
Подсказка 1!
Для начала посмотрим на пункт а. Заметим, что у нас тут есть какие-то отрезки касательных, может быть мы можем выразить их через стороны треугольника как-то..?
Подсказка 2!
Верно! MC = NC = Полупериметр - c! А еще в треугольнике MNC две равных стороны, которые мы можем так выразить. Тааааааак, а как бы нам теперь зная много сторон найти отношение площадей?
Подсказка 3!
В таких случаях мы пишем отношение площадей через формулу двух сторон и угла между ними! Было бы здорово, если бы угол был общий, попробуйте угол С?
Подсказка 4!
А теперь в получившейся формуле осталось прийти к минимуму! (a+b) и ab, что-то знакомое..
Подсказка 5!
Хм, а пункт б? Раскроем скобки в последнем выражении для отношения площадей и сделаем замену t = a/b! Тогда что будет в скобках? В точности t+1/t+2. Осталось найти возможные значения t!
а) По формуле отрезков касательных для вписанной окружности имеем 
— стороны 
треугольника, отсюда
Используем неравенство о средних 
(знак равно достигается, только в случае 
), то 
.
б) Перепишем отношение площадей в следующем виде:
где 
. По неравенству треугольника 
. Учитывая то, что 
последние неравенства
равносильны 
. Отсюда 
. Функция 
монотонно убывает на 
и возрастает на 
, она
симметрична относительно 
, откуда 
. В итоге находим множество значений 
на
отрезке 
. Любое промежуточное значение можно задать выбором 
и 
.
а) 
б) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
