Экстремальные задачи в планиметрии
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырёхугольник 
вписан в окружность. Пусть 
– центр вписанной в треугольник 
окружности. Найдите наименьшее
значение 
, если известно, что 
Источники:
Подсказка 1
Видим середину дуги и центр вписанной окружности, значит...
Подсказка 2
Они лежат на одной прямой, и можно применить лемму о трезубце!
Подсказка 3
Мы получили кучу отрезков, равных 2. Тогда хочется найти ещё побольше равных треугольников!
Подсказка 4
Давайте опустим перпендикуляры из точки I на AB и BD, и из точки C на BD. Мы получим три равных треугольника, и из этого будет следовать, что...
Подсказка 5
Эти перпендикуляры равны! Что тогда можно сказать про точку пересечения BD и CI?
Подсказка 6
Она делит CI пополам! Теперь осталось только применить теорему о произведении отрезков хорд и неравенство о средних, и мы найдём наименьшее значение BD. Ну и формально говоря, ещё нужно показать, как построить пример, когда это наименьшее значение достигается.
Из условия следует равенство дуг 
и 
значит, биссектриса 
угла 
пересекает окружность в точке 
. По лемме о
трезубце 
Пусть 
– основания перпендикуляров, опущенных из точек 
и 
на 
и 
соответственно, тогда из равенства
прямоугольных треугольников 
и 
по острому углу (равные вписанные углы) и гипотенузе (из условия) следует, что 
Перпендикуляр 
к диагонали 
также равен 
(это радиусы вписанной окружности треугольника 
поэтому 
пересекает отрезок 
в его середине 
из равенства прямоугольных треугольников 
и 
по катету и острому углу
(вертикальные).
Таким образом, 
По теореме о произведении отрезков хорд 
Пусть 
тогда 
А
по неравенству о средних 
Наименьшее значение достигается при 
Построим равнобедренный треугольник 
с боковыми сторонами
и высотой 
Тогда 
Продлим 
за точку 
на длину 
получим точку 
Отметим 
—
центр вписанной окружности треугольника 
Тогда из леммы о трезубце получим 
а значит, 
и
построенная картинка удовлетворяет условию.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
