Экстремальные задачи в планиметрии
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность с центром 
вписан четырехугольник 
, диагонали 
и 
которого пересекаются в точке 
, причем
. Определите, какой может быть наименьшая длина диагонали 
, если известно, что стороны 
и 
равноудалены от точки 
.
Источники:
Подсказка 1
Какой вывод можно сделать из равноудаленности AB и AD от точки O?
Подсказка 2
Они равны! А что вытекает из равенства хорд в окружности?
Подсказка 3
Углы ACD, ADB, ABD равны! Не возникло ли где у нас подобия? Быть может, можно посчитать еще какие-то отрезки?
Подсказка 4
Треугольники ABM и ACB подобны! Отсюда можно посчитать какие-нибудь отрезки. Теперь попробуем подступиться к отрезкам на DB. Быть может, попробуем их выразить при помощи свойства отрезков на пересекающихся хордах?
Подсказка 5
DM * MB = CM * MA = 5*4, что есть DM = 5x, MB = 4/x. Осталось лишь минимизировать сумму ;)
Из равноудалённости сторон 
и 
от точки 
вытекает их равенство. Следовательно равны углы 
.
Таким образом, треугольники 
и 
подобны. Откуда 
, т.e. 
, а следовательно, 
. Так как
, то 
Следовательно,
применяя 
. Остаётся заметить, что данный случай реализуется, когда 
проходит через центр окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
