Экстремальные задачи в планиметрии

Заметим, что точки и совпадают.

Действительно, пусть минимум достигается на конфигурации, где это не так. Но тогда, сдвинув точку в точку , мы длину проводов уменьшим. Таким образом, компьютер и сервер должны оказаться в некоторой точке

Покажем, что лежит на диагонали .

Предположим обратное. Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Покажем, что сумма расстояний от точки до вершин , которую обозначим , меньше аналогичной суммы . Длина проекции меньше длины наклонной, поэтому . Чтобы доказать, что

отразим отрезок относительно прямой (при этом точка перейдет в точку , точка — в точку ).

Точки окажутся на одной прямой. Тогда , и при этом . Неравенство (1) доказано. Следовательно, , а значит, искомая точка должна лежать на диагонали.

Пусть . Рассмотрим функцию

На отрезке функция принимает минимальное значение в точке а само минимальное значение равно