Экстремальные задачи в планиметрии

Пусть дан треугольник — это середина Заметим, что максимальный по площади круг лежащий в данном треугольник является кругом, ограниченный вписанной окружностью. Пусть — центр вписанной окружности, и — радиус окружности.

Тогда половина основания можно вычислить из подобия и

Так как вырезаемый треугольник подобный исходному лежит внутри фиксированной окружности, то у него по крайней мере две вершины лежат на окружности, в противном случаи мы сможем увеличить площадь. Дальше рассмотрим два варианта:

• Исходный треугольник остроугольный или прямоугольный, то есть тогда Тогда треугольник будет вписан в вырезанную окружность.

  

  В этом случаи половина основания вырезанного треугольника равна

  

• Исходный треугольник тупоугольным, то есть тогда Тогда треугольник будет расположен так, что будет диаметром вырезанной окружности.

  

  В этом случаи половина основания вырезанного треугольника равна

  

В итоге получаем

Тогда коэффициент подобия будет равен

В силу подобия и и того, что площадь исходного треугольника была равна 1, получаем, что

Функция убывает при то есть поэтому