Расстояние между скрещивающимися
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб с основанием
и боковыми рёбрами
,
,
,
. Найдите расстояние между прямой,
проходящей через середины рёбер
и
, и прямой, проходящей через середины рёбер
и
, если ребро куба
равно
Подсказка 1
Перед нами встала задача вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми, какие способы сделать это вы знаете? Общий перпендикуляр тут не то чтобы очевиден, а вот параллельные плоскости можно попробовать построить! Проведём через середину ВВ' прямую, параллельную прямой проходящей через середины АВ и АА'. Одно сечение прямо перед нами! Назовём эту плоскость α.
Подсказка 2
Второе сечение построить чуть сложнее, но опираясь на знание о том, что параллельные плоскости пересекают третью по параллельным прямым, мы можем сделать и это. Назовём такую плоскость β.
Подсказка 3
Рассмотрим пересечение плоскостей α и (BB'D). В каком отношении плоскость α делит диагональ куба B'D? А что можно сказать про угол между диагональю куба B'D и плоскостью α?
Подсказка 4
Аналогично можно выяснить и про плоскость β: она будет перпендикулярна диагонали куба. Тогда расстояние между α и β равно длине отрезка диагонали куба заключённого между ними. Рассматривая пересечение плоскостей β и (BB'D) можно установить, в каком отношении плоскость β делит нашу диагональ? Немного арифметики и задача решена!
Пусть — середины рёбер куба
и
соответственно.
Проведем плоскость через и центр
куба. Данная плоскость перпендикулярна диагонали
так как
, а
прямые
перпендикулярны
. Так как плоскость
проходит через
она делит
в отношении
Прямая лежит в плоскости
, которая также перпендикулярна диагонали
При этом плоскость делит диагональ
в
отношении
поскольку плоскость
проходит через середины ребер
и
и параллельно плоскости
которая делит
в отношении
Стало быть, искомое расстояние между прямыми равно расстоянию параллельными плоскостями, которые их содержат.
Специальные программы

Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!