Квадратичные вычеты
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите в целых числах уравнение 
Подсказка 1
Правая часть похожа на сумму кубов. Чего не хватает?
Подсказка 2
Единицы. Прибавим 1 к обеим частям и разложим правую по формуле суммы кубов. Что можно сказать о четности чисел x, y?
Подсказка 3
Если y чётно, то x нечётно, значит, левая часть не делится на 4, а правая делится. Если правая часть делится на некоторое просто p, то делится и левая, а значит, -1 квадратичный вычет по данному модулю. При всех ли p это возможно?
Подсказка 4
Нет, это неверно, например, если p сравнимо с 3 по модулю 4. Для того, чтобы показать, что исходное уравнение не имеет решений осталось доказать, что правая часть делится на простое число вида 4k+3.
Прибавим к обеим частям по 
и разложим на множители правую часть:
Пусть 
чётно. Тогда 
нечётно, значит, левая часть не делится на 
а правая делится. Значит, если и есть решения, то 
нечётно.
Тогда заметим, что правая часть обязательно имеет простой делитель вида 
Действительно, поскольку если 
то
имеет такой делитель, а если 
то 
и имеет такой делитель. Но если 
делится на
то 
— квадратичный вычет по модулю 
чего не бывает. Ясно, что левая часть всегда положительна, так что
наши рассуждения корректны.
Решений нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
