Квадратичные вычеты

Прибавим к обеим частям по и разложим на множители правую часть:

Пусть чётно. Тогда нечётно, значит, левая часть не делится на а правая делится. Значит, если и есть решения, то нечётно. Тогда заметим, что правая часть обязательно имеет простой делитель вида Действительно, поскольку если то имеет такой делитель, а если то и имеет такой делитель. Но если делится на то — квадратичный вычет по модулю чего не бывает. Ясно, что левая часть всегда положительна, так что наши рассуждения корректны.