Квадратичные вычеты
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— нечётное, большее единицы число и 
— его разложение на простые множители (среди 
могут быть
равные). Тогда для произвольного целого числа 
символ Якоби определяется равенством:
где 
— символы Лежандра. По определению считаем 
для всех 
Докажите, обобщённый квадратичный закон взаимности:
если 
— взаимно простые нечётные числа, то
Сначала проверим случай, когда одно из чисел 
Пусть 
Тогда 
То есть действительно всё
сходится.
Теперь пусть 
и 
Из взаимной простоты следует, что 
Мультипликативность символа Якоби
следует из определения и мультипликативности символа Лежандра: 
Тогда
По квадратичному закону взаимности для простых чисел получаем, что
Значениие степени 
зависит от чётности показателя, то есть нам нужно доказать, что
Для нечётных 
заметим, что 
(можно явно проверить, рассмотрев остатки по модулю 
при равных
остатках с обеих сторон получится 
при различных остатках — 
Тогда заметим, что в сумме можно вынести 
за второй индекс
суммирования:
из нашего тождества. Теперь общий множитель 
можно тоже вынести:
снова по тождеству. То есть у нас получилось в точности то, что и требовалось доказать:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
