Тема . Остатки и сравнения по модулю

Квадратичные вычеты

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела остатки и сравнения по модулю

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#122202

Докажите, что $2$ является квадратичным вычетом по модулю $p$ тогда и только тогда, когда $p≡ ±1 (mod 8).$

Показать доказательство

Рассмотрим множество вычетов $S = {2⋅1,2⋅2,2⋅3,...,2⋅ p−1}. 2$ Обозначим через $ν(2)$ количество элементов $s∈ S,$ больших $p−1. 2$ Тогда:

( 2) ν(2) p = (−1) .

Значит $2$ — вычет $⇐ ⇒ ν(2)≡2 0.$ Разберем случаи:

Случай $p ≡1 (mod 4):$ Тогда для всех $k ≤ p−14-$ вычеты $2k≤ p−21,$ а оставшиеся больше, то есть
$ν(2)= p−-1. 4$
Тогда:
$2-квадратичный вычет, при условии p ≡4 1 ⇐⇒ p−-1≡2 0 ⇐ ⇒ p≡8 1. 4$
Случай $p ≡− 1 (mod 4):$ Тогда для $k≥ p+1, 4$ вычеты $2k≥ p+1, 4$ отсюда аналогично:
$p+-1 ν(2)= 4 .$

$2 -квадратичный вычет, при условии p≡ −1 ⇐⇒ p+-1≡ 0 ⇐ ⇒ p≡ −1. 4 4 2 8$

Объединяя оба случая, получаем требуемое.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse