Квадратичные вычеты
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ненулевые взаимно простые в совокупности числа 
удовлетворяют равенству
Докажите, что все нечетные простые делители числа 
дают остаток 
при делении на 
Подсказка 1
В уравнениях с целыми числами дроби выглядят не очень приятно. Избавьтесь от них и предположите противное.
Подсказка 2
Если сумма квадратов a, b, c, d делится на p=4k+3, то по модулю p можно выразить a через остальные переменные. Этот шаг сохраняет все условия, поэтому его следует сделать. Теперь у нас есть какое-то равенство и модуль p. Напишите вместо знака равно сравнение.
Подсказка 3
Тождество получилось 6 степени. Попробуйте разложить его на квадратные множители. Как их найти? В условии есть p=4k+3 и квадраты. Как их связать? На самом деле сумма квадратов не бывает равна нулю по модулю p. Докажите это и поймите из этого разложение на множители.
После раскрытия скобок и сокращения, а также избавления от знаменателей получаем равенство
Предположим, что 
имеет некоторый простой делитель 
вида 
Тогда 
При
этом
Тогда одна из скобок делится на 
Пусть, не умаляя общности, 
делится на 
но тогда 
и 
делятся на 
(иначе
было бы квадратичным вычетом по модулю 
что невозможно). Тогда 
также делится на 
откуда 
и
делятся на 
— противоречие с взаимной простотой 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
