Квадратичные вычеты
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что простое число 
является делителем числа вида 
тогда и только тогда, когда оно является делителем числа вида
Подсказка 1
Предположим, что p делит число x²-x+3 при некотором x, тогда существует решение сравнения a²-a+3 ≡ 0. Как это можно переформулировать в терминах квадратичных вычетов?
Подсказка 2
Решение существует в том и только в том случае, если дискриминант данного трехчлена является квадратичным вычетом по по данному модулю. А значит, достаточно показать, что дискриминант x²-x+3 является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда дискриминант y²− y +25 является квадратичным вычетом. Вычислите дискриминанты и докажите объявленное утверждение.
Подсказка 3
Дискриминанты равны -11 и -99. Как доказываемое утверждение можно переформулировать в терминах символа Лежандра?
Подсказка 4
Необходимо показать равенство символов Лежандра от -11 и от -99. Почему они равны?
Подсказка 5
Потому что символ Лежандра мультипликативен, а его значение от 9 равно 1.
Как известно, решение 
существует тогда и только тогда, когда дискриминант 
является квадратичным
вычетом по модулю 
Поэтому, условие задачи равносильно следующему утверждению: дискриминант 
является квадратичным
вычетом по модулю 
тогда и только тогда, когда дискриминант 
является квадратичным вычетом по тому же
модулю.
Вычислим указанные дискриминанты. Первый равен 
а второй 
Фактически, требуется проверить, что для
любого простого 
выполнено 
где 
– символ Лежандра. Отдельно отметим, что случай 
очевиден – для него
не определено понятие символа Лежандра. Согласно свойству мультипликативности, 
При этом, очевидно,
для всех 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
