Квадратичные вычеты

Из общей теории известно, что количество квадратичных вычетов по любому простому равно Отметим, что любой биквадратичный вычет является и квадратичным (), поэтому их количество не превосходит Тем самым, задача равносильна проверке того, что только для простых вида количество биквадратичных вычетов равно

Рассмотрим биквадратичные вычеты Покажем, что никаких других биквадратичных вычетов нет. Рассмотрим произвольную четвертую степень натурального числа Ее основание, поделим на с остатком: Справедливо, что причем либо либо Поскольку множество биквадратичных вычетов определяется как множество остатков, которые дают четвертые степени натуральных чисел по модулю утверждение доказано. Покажем теперь, что среди есть одинаковые вычеты по модулю тогда и только тогда, когда для некоторого натурального Ясно, что это утверждение равносильно нашей задаче.

Проведем рассуждение, являющееся цепочкой равносильных переходов. Среди

есть два равных остатка по модулю тогда и только тогда, когда существуют и

Ясно, что ни , ни не делится на поэтому Следовательно, для такого что и справедливо, что и и являются квадратичными вычетами по модулю Из мультипликативности символа Лежандра это означает, что является квадратичным вычетом по модулю что верно для простых вида и только для них (следует, например, из критерия Эйлера). Итак, мы доказали, что среди есть два равных остатка по модулю тогда и только тогда, когда что и требовалось.