Квадратичные вычеты

Запишем уравнение в виде Из такой записи очевидно, что Докажем, что всегда делится на некоторое простое Будем пользоваться тем, что любое число, сравнимое с по модулю имеет простой делитель вида так как произведение любого набора таких чисел вида само имеет остаток по модулю

(a)  – четное число. В таком случае Остается применить утверждение.

(b)  В таком случае Применим утверждение. Так как оно тоже имеет простой делитель вида

(c) . В таком случае Тогда и что невозможно.

Итак, для некоторого Значит, является квадратичным вычетом по модулю Число является квадратичным вычетом по любому простому модулю, и из мультипликативности символа Лежандра тогда следует, что является вычетом по модулю Однако из общей теории мы знаем, что является вычетом по простому модулю тогда и только тогда, когда Поскольку мы пришли к противоречию, уравнение из условия задачи решений не имеет.