Квадратичные вычеты

Перепишем уравнение в виде Отметим, что правая часть не кратна так как либо Пусть  – простой делитель левой части, не равный или Ясно, что так как правая часть уравнения не делится на Тогда откуда разумеется, является квадратичным вычетом. Из мультипликативности символа Лежандра, Ясно, что поэтому является квадратичным вычетом по модулю Запишем квадратичный закон взаимности:

откуда является квадратичным вычетом по модулю Согласно критерию Эйлера, Таким образом мы получили, что любой простой делитель отличный от и сравним с по модулю

Среди чисел ровно одно кратно поэтому оно же и кратно Если какое-то из этих трех чисел является нечетным, то оно сравнимо с по модулю поскольку оно делится на в четной степени, а все остальные его простые делители сравнимы с по модулю Если нечетные, то обязательно но тогда хотя правая часть не кратна  – противоречие. Получается, что  – нечетное. По замечанию, Но тогда либо либо делится на хотя правая часть не кратна  – противоречие.

Выходит, что у нет других простых делителей кроме и Так как одно из трех чисел кратно Два других числа могут быть кратны только двум, поэтому оба должны быть степенью (причем, из-за неравенства, ненулевой). Ясно, что этими числами обязаны быть и Две степени двойки отличаются на только если одна из них равна а другая В таком случае что противоречит неравенству выше. Таким образом, у уравнения решений нет.