Тема . Остатки и сравнения по модулю

Квадратичные вычеты

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела остатки и сравнения по модулю

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75242

Найдите все натуральные $m$ и $n,$ удовлетворяющие равенству

n n n n−1 (2 − 1)(2 − 2)...(2 − 2 )= m!

Показать ответ и решение

Далее в решении, как обычно, $v (N) p$ — показатель наибольшей степени простого числа $p,$ делящей $N.$

Пусть $n n n ( n n− 1) Ln = (2 − 1)(2 − 2)(2 − 4)...2 − 2 .$ Тогда

n n (n n−1) 1+2+⋅⋅⋅+(n−1) n (n−1 ) ( 1 ) Ln =(2 − 1)(2 − 2)⋅⋅⋅2 − 2 = 2 (2 − 1)2 − 1 ⋅⋅⋅ 2 − 1

следовательно,

n(n−-1) v2(Ln)= 1+2 +⋅⋅⋅+ (n− 1) = 2

С другой стороны, по формуле Лежандра, верно неравенство

∞∑ ⌊ ⌋ ∑∞ v2(m!)= mi < mi = m i=1 2 i=12

Приравнивая показатели, имеем

n(n-− 1) 2 = v2(Ln)= v2(m!)< m

Кроме этого заметим, что

Ln = (2n− 1)(2n− 2)⋅⋅⋅(2n − 2n−1)< (2n)n = 2n2

Мы хотим показать, что для всех $n ≥6$ верно

( ) 2n2 < n(n-− 1) 2

что влечет невозможность равенства $Ln = m!$ для указанных $n.$

Для $n =6$ имеем

( ) 262 < 6.9⋅1010 < 1.3 ⋅1012 < 15!< n(n−-1) 2

Пусть $n≥ 7,$ тогда

( n(n − 1)) n(n− 1) n(n−1)−15 --2----!= 15!⋅16⋅17 ⋅⋅⋅--2---->236⋅16 2 = 22n(n− 1)−24 = 2n2 ⋅2n(n−2)−24 >2n2

Таким образом, необходимо проверить выполнение исходного равенства для $n ≤5.$ Имеем

L1 = 1= 1!, L2 = 6= 3!, 5!< L3 = 168 <6!, 7!< L4 = 20160< 8! и 10!< L5 = 9999360< 11!

Наконец, уравнение имеет два решения

(m,n)∈ {(1,1),(3,2)}

Ответ:

$(1,1),(3,2)$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse