Квадратичные вычеты

Очевидно, что простых чисел бесконечно много. Все простые делятся на 3 группы:
;
;
.
Докажем для начала, что чисел вида бесконечно много от противного. Пусть , ...., - все числа вида . Рассмотрим число . У него нет делителей вида и оно нечетно, поэтому все его простые делители вида , но само число сравнимо с -1 по модулю 4. Противоречие.

Вернемся к нашей задаче. Мы знаем, что -1 бывает квадратичным вычетом только по простому числу вида , поэтому если для нечетного простого , то , и — простое число вида . Опять представим, что количество простых чисел вида конечное число и вот они , ...., . Рассмотрим число , оно не делится на 2, у него нет делителей вида (так как если для нечетного простого , то — простое число вида ) и оно не делится ни на одно простое число . Противоречие.