Квадратичные вычеты
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что уравнение 
не имеет решений в натуральных числах.
Подсказка 1
Левая часть равенства выглядит странно, хочется ее немного изменить и разложить на множители. Как это сделать?
Подсказка 2
Домножим на 4 и прибавим 1. Имеем (4m-1)(4n-1)=4x^2+1 очень много четверок. Какие простые могут быть в разложении частей на простые множители?
Подсказка 3
Равенство не будет выполнено, если левая часть имеет простые множители вида 4k+3, а правая - нет. Попробуйте найти такие простые слева и доказать, что справа их быть не может.
Предположим, что уравнение разрешимо в натуральных числах. Домножим его на 
имеем
следовательно,
Покажем, что любое число вида 
для некоторого натурального 
имеет простой делитель вида 
для натурального
числа 
Пусть 
— разложение числа 
на простые множители. Предположим, что это не так, тогда 
для 
Таким образом,
что влечет противоречие.
Наконец, 
кратно 
следовательно существует число 
квадрат которого сравним с 
по модулю 
Иными словами,
является квадратичным вычетом по модулю 
что невозможно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
