Квадратичные вычеты

Подсказка 1

Что в терминах квадратичных остатков дает условие о том, что p не является делителем n²+3n+11 ни для какого натурального n?

Подсказка 2

Покажите, что сравнение ax²+bx+c≡0 (mod p) имеет решения тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного уравнения является квадратичным вычетом по модулю p. Так, -35 является квадратичным невычетом по рассматриваемому модулю. Как можно перейти от уравнения 2a⁴+9a³−a²+9a+2 к квадратному?

Подсказка 3

Представить данное уравнение в виде произведения двух множителей, каждый из которых является квадратным уравнением. Искать корни уравнения четвертой степени затруднительно, так же затруднительно быстро придумать нужное разбиение. Как это можно сделать, заметив, что коэффициенты при степенях, сумма которых равна 4, равны?

Подсказка 4

Можно ввести замену x=a+1/a. Полученное уравнение будет является квадратным относительно x и иметь корни -5 и 1/2. Так, число a такое, что 2a⁴+9a³−a²+9a+2 кратно p, существует тогда и только тогда, когда существует a для которого выполнено сравнение a²+5a+1≡0 (mod p) или 2a²-a+2≡0 (mod p). Вспомните критерий, который помогает переформулировать данную делимость в терминах квадратичных вычетов.

Подсказка 5

Хотя бы одно из сравнений верно только в том случае, если хотя бы одно из чисел 21 и -15, которые являются дискриминантами соответствующий квадратных уравнений, является квадратичным вычетом по модулю p. Как это можно доказать, используя то, что -35 не является квадратичным вычетом по указанному модулю.

Подсказка 6

Каждое из чисел 21 и -15 не взаимнопросто с -35. Этим можно воспользоваться, если выразить если переписать условие на то, что каждое из чисел является квадратичным невычетом по модулю p, в терминах символа Лежандра.