Квадратичные вычеты

Докажем, что простых чисел сравнимых с по модулю бесконечно много. Это будет равносильно задаче в силу того, что все простые кроме числа — нечетные. Пусть это не так, то есть таких чисел конечно, обозначим за удвоенное их произведение. Число — больше и нечетно, тогда Тогда — квадратичный вычет по модулю и по квадратичному закону взаимности имеем:

то есть Но все простые делители не могут быть вида ведь Значит существует еще одно простое число вида — противоречие.