Квадратичные вычеты
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что простых чисел вида 
бесконечно много.
Подсказка 1
На деле речь идет про простые числа вида 5k-1. Как вообще доказывать, что простых чисел какого-то вида бесконечно много? Можно найти число, которое не кратно всем числам такого вида и понять, что оно должно быть кратно. Как можно искать такое число?
Подсказка 2
Если перемножить квадраты всех простых чисел вида 5k-1, домножить на 4 и вычесть 5, то получится число нужного вида. Почему у него есть делитель вида 5k-1?
Подсказка 3
Поймите, воспользовавшись квадратичным законом взаимности, что у построенного числа все делители вида 5k+1 и 5k-1. Почему не могут все быть вида 5k+1?
Докажем, что простых чисел сравнимых с 
по модулю 
бесконечно много. Это будет равносильно задаче в силу того, что все простые
кроме числа 
— нечетные. Пусть это не так, то есть таких чисел конечно, обозначим за 
удвоенное их произведение. Число 
—
больше 
и нечетно, тогда 
Тогда 
— квадратичный вычет по модулю 
и по квадратичному закону взаимности
имеем:
то есть 
Но все простые делители не могут быть вида 
ведь 
Значит существует еще одно
простое число вида 
— противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
