Функции на ИТМО

Рассмотрим какой-то одночлен . Его -ая производная равна , а поскольку и , и не больше тысячи, эта производная не превосходит , причём равенство достигается только когда и . Значит, аналогичное неравенство верно и для суммы одночленов. Подставляем вместо число 1000, и получаем, что

По индукции легко доказать:

Тогда, воспользовавшись доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что

Кроме того, заметим, что поскольку в данной сумме встречается не только первая производная, хотя бы одно из суммируемых нами равенств на самом деле строгое, поэтому мы можем заменить знак на .

Таким образом, мы получили, что , откуда делением на получаем требуемое неравенство.