Функциональные неравенства

Нетрудно убедиться, что из многочленов, тождественно равных константе, подходит только Дальше рассматриваем многочлены хотя бы первой степени.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Степень многочлена чётная.

Доказательство леммы. Предположим противное, тогда многочлен имеет нечётную степень и принимает как положительные, так и отрицательные значения. Это противоречит тому, что неотрицательный при всех вещественных

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Также из доказанной выше леммы следует, что имеет положительный старший коэффициент.

Рассмотрим два случая.

Если подставим Условие превратится в тогда подставим получим Продолжим так дальше, то есть для где мы подставляем и получаем При этом то есть новое значение хотя бы в два раза больше предыдущего. Таким образом, мы получаем, что для сколь угодно больших значений выполнено что противоречит положительному старшему коэффициенту у

Если подставим получив Далее, подставим получим Продолжим так подставлять дальше. Заметим, что поэтому модуль нового значения будет хотя бы в два раза больше предыдущего. Тогда мы получим отрицательное сколько угодно большое по модулю для которого что опять противоречит положительному старшему коэффициенту и чётной степени многочлена.