Окружность Эйлера

Так как стороны исходного треугольника являются касательными к описанной окружности треугольника, образованного точками касания, то задачу удобно переформулировать:

Рассмотрим треугольник и его описанную окружность. Проведём к ней касательную в точке а из середины стороны проведём прямую перпендикулярную Аналогично определим прямые и Требуется доказать, что прямые и пересекаются в одной точке.

Заметим, что так как они обе перпендикулярны к Пусть — ортоцентр треугольника — середина Из того, что и соотношения (свойство ортоцентра) следует, что и — параллелограммы(их противолежащие стороны равны и параллельны). Значит, то есть прямые и совпадают. Из параллелограмма получим, что содержит середину отрезка Проведя аналогичные рассуждения, получим, что прямые и также проходят через точку Таким образом, прямые и пересекаются в одной точке.

является центром окружности девяти точек треугольника а — один из её диаметров. Эти факты можно использовать в заключительной части рассуждения.