Окружность Эйлера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведены высоты 
. На стороне 
выбрана точка 
так, что окружность,
описанная около треугольника 
, касается стороны 
. Найдите 
, если 
и 
.
Подсказка 1
Становится ясно, что нам придётся считать отрезки. По условию нам даны отрезки касательных, тогда какой прямой нам не хватает, чтобы воспользоваться известным равенством для окружности?
Подсказка 2
Нам необходима секущая! Давайте проведем ее через известные точки и начнём считать.
Подсказка 3
Проведите A₁B₁ до пересечения с AB в точке K и обозначьте KB = x. Что можно сказать про A₁B₁AB?
Подсказка 4
A₁B₁AB лежат на одной окружности, так что для них тоже можно воспользоваться равенством произведения отрезков секущих!
Подсказка 5
KA₁* KB₁ = KA * KB. KP² = KA₁* KB₁. Отсюда мы можем выразить x! Но ведь нам нужно было найти PC₁…было бы очень полезно найти еще одну окружность, в которой PC₁ был бы частью отрезка секущей.
Подсказка 6
Обратите внимание на окружность, проходящую через середины сторон и основания высот!
.png)
Продлим отрезки 
и 
до пересечения в точке 
и обозначим длину 
.
Так как произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: 
А также квадрат отрезка
касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки, поэтому 
Следовательно
. Выразив эти отрезки через 
получим 
и 
.
Отметим 
— середину стороны 
. Основания высот 
и точка 
лежат на одной окружности(Окружность девяти
точек). Тогда 
по свойству отрезков секущих, проведенных из одной точки 
.
А также имеем 
. И так как 
, получаем 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
