Окружность Эйлера

Пусть — центры вневписанных окружностей треугольника касающихся сторон и соответственно. Тогда прямые — биссектрисы треугольника , а прямые — его внешние биссектрисы. Следовательно, точки будут основаниями высот треугольника а окружность — его окружностью девяти точек. Тогда точки является отличной от точкой пересечения с Следовательно, — середина Аналогично, — середина Таким образом, — средняя линия треугольника

Обозначим через и соответственно основания внешней и внутренней биссектрис угла треугольника и через — точку пересечения прямых и По условию мы знаем, что

Точка лежит на луче , поскольку — на так что

Тогда а поскольку треугольник прямоугольный, то и

Следовательно, — прямоугольник и Мы получаем, что прямые и параллельны и имеют общую точку Тогда эти прямые совпадают. Это означает, что точка лежит на средней линии треугольника и, следовательно, делит пополам отрезок

Далее, применив свойство внешней биссектрисы к треугольникам и , получим

Тогда и, следовательно,