Окружность Эйлера

Отметим, что точки и лежат на вписанной окружности треугольника Действительно, так как точка лежит на оси симметрии то где  – радиус вписанной окружности. Аналогично, Пусть уже доказано, что стороны треугольника параллельны соответствующим сторонам треугольника причем вершины и располагаются по одну и ту же сторону относительно и Отметим, что существует только один треугольник с такими свойствами, вписанный во вписанную окружность треугольника С другой стороны, поскольку эта окружность касается окружности Эйлера в точке такой треугольник можно получить как образ треугольника под действием гомотетии c центром в переводящей окружность Эйлера во вписанную окружность треугольника Отсюда, это образ под действием гомотетии с центром в что и требовалось доказать.

Теперь докажем факт выше. Пусть  – точки пересечения биссектрис со сторонами треугольника. Изобразим треугольник так, чтобы лежала “над” Тогда ясно, что лежит “под”

Покажем, что параллельна  – параллельность двух других пар сторон доказывается аналогично. Чтобы избежать разбора различных случаев расположения точек будем считать, что угол является наибольшим в треугольнике. Тогда

Аналогично, Рассмотрим треугольник Он является равнобедренным, причем Значит, его углы при основании равны по Это позволяет вычислить угол между прямыми и он равен Угол между прямыми и также равен поэтому параллельность доказана.

Перейдем к доказательству второй части утверждения. Вычислим угол между и Он равен Ясно, что этот угол меньше чем углы между прямыми и и Поскольку центр описанной окружности из этого следует что лежит на дуге вписанной окружности, располагающейся “под” прямой что и оставалось доказать.