Окружность Эйлера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть дан треугольник Обозначим его середины сторон через и точки касания вписанной окружности со сторонами – через и соответственно. Также обозначим через точку Фейербаха и центр вписанной окружности треугольника Пусть – точка, симметричная относительно Аналогично определяются и Докажите, что треугольник гомотетичен треугольнику с центром гомотетии
Отметим, что точки и лежат на вписанной окружности треугольника Действительно, так как точка лежит на оси симметрии то где – радиус вписанной окружности. Аналогично, Пусть уже доказано, что стороны треугольника параллельны соответствующим сторонам треугольника причем вершины и располагаются по одну и ту же сторону относительно и Отметим, что существует только один треугольник с такими свойствами, вписанный во вписанную окружность треугольника С другой стороны, поскольку эта окружность касается окружности Эйлера в точке такой треугольник можно получить как образ треугольника под действием гомотетии c центром в переводящей окружность Эйлера во вписанную окружность треугольника Отсюда, это образ под действием гомотетии с центром в что и требовалось доказать.
Теперь докажем факт выше. Пусть – точки пересечения биссектрис со сторонами треугольника. Изобразим треугольник так, чтобы лежала “над” Тогда ясно, что лежит “под”
Покажем, что параллельна – параллельность двух других пар сторон доказывается аналогично. Чтобы избежать разбора различных случаев расположения точек будем считать, что угол является наибольшим в треугольнике. Тогда
Аналогично, Рассмотрим треугольник Он является равнобедренным, причем Значит, его углы при основании равны по Это позволяет вычислить угол между прямыми и он равен Угол между прямыми и также равен поэтому параллельность доказана.
Перейдем к доказательству второй части утверждения. Вычислим угол между и Он равен Ясно, что этот угол меньше чем углы между прямыми и и Поскольку центр описанной окружности из этого следует что лежит на дуге вписанной окружности, располагающейся “под” прямой что и оставалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!