Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела окружности
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82169

Пусть дан треугольник ABC.  Обозначим его середины сторон через A ,B
 0  0  и C ,
  0  точки касания вписанной окружности со сторонами – через A1,B1  и C1  соответственно. Также обозначим через F  точку Фейербаха и I  центр вписанной окружности треугольника ABC.  Пусть KA   – точка, симметричная A1  относительно AI.  Аналогично определяются KB  и KC.  Докажите, что треугольник KAKBKC  гомотетичен треугольнику A0B0C0  с центром гомотетии F.

Показать доказательство

PIC

Отметим, что точки KA,KB  и KC  лежат на вписанной окружности треугольника ABC.  Действительно, так как точка I  лежит на оси симметрии AI,  то A1I = KAI =r,  где r   – радиус вписанной окружности. Аналогично, KBI =r= KCI.  Пусть уже доказано, что стороны треугольника KAKBKC  параллельны соответствующим сторонам треугольника A0B0C0,  причем вершины KB  и B0  располагаются по одну и ту же сторону относительно KAKC  и A0C0.  Отметим, что существует только один треугольник с такими свойствами, вписанный во вписанную окружность треугольника ABC.  С другой стороны, поскольку эта окружность касается окружности Эйлера в точке F,  такой треугольник можно получить как образ треугольника A0B0C0  под действием гомотетии c центром в F,  переводящей окружность Эйлера во вписанную окружность треугольника ABC.  Отсюда, KAKBKC  это образ A0B0C0  под действием гомотетии с центром в F,  что и требовалось доказать.

Теперь докажем факт выше. Пусть A2,B2,C2   – точки пересечения биссектрис со сторонами треугольника. Изобразим треугольник ABC  так, чтобы B  лежала “над” AC.  Тогда ясно, что B0  лежит “под” A0C0.

Покажем, что KCKA  параллельна AC   – параллельность двух других пар сторон доказывается аналогично. Чтобы избежать разбора различных случаев расположения точек будем считать, что угол B  является наибольшим в треугольнике. Тогда

∠BIK  = ∠BIC  +2∠C IC = 90∘− 1∠B+ 2(90∘− (∠A + 1∠C )) =180∘− 3∠A − 1∠C
     C      1     1  2       2                2             2    2

Аналогично,            ∘  3    1
∠BIKA  =180 − 2∠C− 2∠A.  Рассмотрим треугольник KCIKA.  Он является равнобедренным, причем           3    1     3    1
∠KCIKA  = 2∠A+ 2∠C + 2∠C + 2∠A =2∠A + 2∠C.  Значит, его углы при основании равны по   ∘
90 − ∠A− ∠B.  Это позволяет вычислить угол между прямыми BI  и KCKA;  он равен   ∘    ∘          3     1
180 − 90 + ∠A+ ∠C −2∠A − 2∠C =     ∘  1     1
= 90 + 2∠C − 2∠A.  Угол между прямыми  IB  и AC  также равен    ∘      1
180 − ∠A − 2∠B =     ∘  1     1
= 90 +2∠C − 2∠A,  поэтому параллельность доказана.

Перейдем к доказательству второй части утверждения. Вычислим угол между IB  и IKB.  Он равен |90∘ − (180∘− ∠C − 12∠B )|= |90∘− ∠A − 12∠B |=|12∠A − 12∠C |.  Ясно, что этот угол меньше чем углы между прямыми IB  и IKC,IB  и IKA.  Поскольку I  центр описанной окружности KAKBKC,  из этого следует что KB  лежит на дуге KAKC  вписанной окружности, располагающейся “под” прямой KCKA,  что и оставалось доказать.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!