Окружность Эйлера

Проведем прямую Отметим, что на прямой лежит и центр окружности Эйлера треугольника Назовем его Поскольку и и лежат на окружности Эйлера, то С другой стороны, так как и и лежат на вписанной окружности, то Рассмотрим равнобедренные треугольники и Угол можно вычислить как разность углов при основаниях и которая равна половине разности углов при вершинах: и

При рассмотрении углов треугольника, получающегося при пересечении прямых получается, что разность углов и равна углу между прямыми и Отметим, что прямая параллельна высоте треугольника так как и высота, и прямая перпендикулярны Прямая параллельна прямой где  – центр описанной окружности так как треугольники и гомотетичны, и прямые и соединяют соответственные элементы: вершину и центр описанной окружности. Угол равен так как и прямые и изогонально сопряжены.

Итак, Отметим, что середина лежит на окружности Эйлера Докажем, что Отсюда будет следовать, что вписанный, а значит лежит на окружности Эйлера треугольника параллельна как средняя линия, и значит угол равен Треугольник прямоугольный, а его медиана, поэтому угол равен Угол равняется разности найденных углов, то есть что и требовалось показать.