Окружность Эйлера

Докажем для начала следующую лемму для треугольника из условия.

Лемма. Прямая проходит через середину отрезка

Доказательство. По условию а значит и — равнобедренные. Отсюда лежит на серединном перпендикуляре к а — на серединном перпендикуляре к Также на обоих перпендикулярах находится точка Но тогда откуда Аналогично откуда — параллелограмм, а значит делится пополам, что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Сделаем гомотетию в ортоцентре с коэффициентом Нетрудно понять, что описанная окружность перейдёт в окружность Эйлера. Также очевидно, что перейдёт в середину отрезка , значит она и является центром окружности Эйлера. Таким образом, получили требуемое.