19.03 Произведение камней - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#25104

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Например, пусть в одной куче будет $9$ камней, а в другой $10$ камней; такую позицию мы будем обозначать $(9,10)$ . За один ход из позиции $(9,10)$ можно получить любую из четырёх позиций: $(10,10),(9,11),(36,10),(9,40)$ . Игра завершается в тот момент, когда произведение количества камней в кучах становится не менее $1056$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет $1056$ или более камней. В начальный момент в первой куче было $8$ камней, а во второй куче $S$ камней $1 ≤ S ≤ 131$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение $S$ , при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Показать ответ и решение

from functools import lru_cache


@lru_cache(None)
def f(a, b, c=0):
    if a * b >= 1056:
        return 0
    if c > 4:
        return -10 ** 10
    moves = [f(a + 1, b, c + 1), f(a * 4, b, c + 1), f(a, b + 1, c + 1), f(a, b * 4, c + 1)]
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win:
        return -max(petya_win) + 1
    else:
        return -max(moves)


for i in range(1, 132):
    if f(8, i) == -1:
        print(i)

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#60742

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, пусть в одной куче будет $9$ камней, а в другой $10$ камней; такую позицию мы будем обозначать $(9,10)$ . За один ход из позиции $(9,10)$ можно получить любую из четырёх позиций: $(10,10),(9,11),(27,10),(9,30)$ . Игра завершается в тот момент, когда произведение количества камней в кучах становится не менее $1000$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой произведение камней в кучах будет $1000$ или более. В начальный момент в первой куче было $12$ камней, а во второй куче $S$ камней $1 ≤ S ≤ 83$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение $S$ , при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Показать ответ и решение

from functools import lru_cache


@lru_cache(None)
def f(a, b, c=0):
    if a * b >= 1000:
        return 0
    if c > 4:
        return -10 ** 10
    moves = [f(a + 1, b, c + 1), f(a * 3, b, c + 1), f(a, b + 1, c + 1), f(a, b * 3, c + 1)]
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win:
        return -max(petya_win) + 1
    else:
        return -max(moves)


for i in range(1, 84):
    if f(12, i) == -1:
        print(i)

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#60745

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, пусть в одной куче будет $9$ камней, а в другой $10$ камней; такую позицию мы будем обозначать $(9,10)$ . За один ход из позиции $(9,10)$ можно получить любую из четырёх позиций: $(10,10),(9,11),(45,10),(9,50)$ . Игра завершается в тот момент, когда произведение количества камней в кучах становится не менее $1250$ .

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет $1250$ или более камней. В начальный момент в первой куче было $4$ камня, а во второй куче $S$ камней $1 ≤ S ≤ 312$ .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение $S$ , при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Показать ответ и решение

from functools import lru_cache


@lru_cache(None)
def f(a, b, c=0):
    if a * b >= 1250:
        return 0
    if c > 4:
        return -10 ** 10
    moves = [f(a + 1, b, c + 1), f(a * 5, b, c + 1), f(a, b + 1, c + 1), f(a, b * 5, c + 1)]
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win:
        return -max(petya_win) + 1
    else:
        return -max(moves)


for i in range(1, 313):
    if f(4, i) == -1:
        print(i)

Ответ: 62