19.04 Уменьшение количества камней

Решение руками

Поймём, что значение - победа Пети, ведь он сразу может вычесть .

Значение не делится на , значит можно вычесть и получить победу Пети.

Значение не делится на , значит можно вычесть и получить победу Пети.

Значение не делится на , значит можно вычесть и получить , из которого сможет выиграть Ваня. Если вычесть , то из можно получить аналогично прошлым шагам, Ваня победит. Значение не делится на , вычитаем , а из Ваня вновь сможет одержать победу. При всех трёх значениях Петя никак не может выиграть.

Ответ:

Решение программой:
Для решения на Python используем рекурсию с проверкой всех возможных ходов (, делить на , делить на ), чтобы определить, чья это выигрышная позиция.
Функция возвращает , если игра уже завершена (камней ), положительное число — если при оптимальной игре побеждает текущий игрок, и отрицательное – если побеждает соперник.
Так как первый ход делает Петя, цикл запускается от его лица: если значение функции положительное, выигрывает Петя, а если отрицательное – Ваня. Если функция вернёт - значит Петя гарантированно проиграл первым ходом, а Ваня выиграл. При переборе возможных начальных значений программа выводит .

# lru_cache позволит сэкономить ресурсы компьютера. Функция будет сохранять прошлые значения функций, а значит не придётся считать из заново.
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # Функция игры
    if first_heap <= 19: # Если камней в куче стало меньше или равно 19
        return 0 # Прекращаем игру
    if first_heap % 3 == 0: # Занесём в b значение функции исходя из кратности числа (по условию)
        b = game(first_heap // 3)
    else:
        b = game(first_heap - 2)
    if first_heap % 5 == 0: # Занесём в с значение функции исходя из кратности числа (по условию)
        c = game(first_heap // 5)
    else:
        c = game(first_heap - 3)
    moves = [game(first_heap - 1), b, c] # Прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # Проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1 # От лица Пети будет выигрыш (положительное число, прибавляем 1, поскольку это будет уже следующий ход)
    else: # Если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves) # От лица Пети будет проигрыш (отрицательное число)

for i in range(20, 100): # Переберём возможные значения (единицу не берём из-за возведения в квадрат, ведь программа будет бесконечной)
    if game(i) == -1: # Если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
        print(i) # Выведем нужное значение