19.04 Уменьшение количества камней

Решение руками:

Петя должен сделать для Вани такое количество камней, чтобы тот сразу же победил.

Если попалось число не кратное двум и пяти, то игрок обязан вычесть один камень, сделав число как минимум чётным.

Тогда сделаем действия в обратном порядке. Больше всего камней отнимает деление на два, будем делать его от максимального числа для выигрыша - .

. Значит из 18 Ваня смог бы моментально выиграть. Остаётся добавить единицу, ведь у Пети просто не будет выбора.

Число определённо нам подходит. Петя уменьшит его на единицу, а Ваня поделит на , выиграв первым ходом.

Больше рассматривать смысла нет, ведь мы провернули все действия от максимального победного числа в обратном порядке. К тому же увеличили его в раза, что является максимально возможным увеличением за раз.

Ответ:

Решение программой:
Для решения на Python используем рекурсию с проверкой всех возможных ходов (, делить на , делить на ), чтобы определить, чья это выигрышная позиция.
Функция возвращает , если игра уже завершена (камней ), положительное число — если при оптимальной игре побеждает текущий игрок, и отрицательное – если побеждает соперник.
Так как первый ход делает Петя, цикл запускается от его лица: если значение функции положительное, выигрывает Петя, а если отрицательное – Ваня. Если функция вернёт - значит Ваня гарантированно выиграл первым ходом. При переборе возможных начальных значений программа выводит максимум .

# lru_cache позволит сэкономить ресурсы компьютера. Функция будет сохранять прошлые значения функций, а значит не придётся считать из заново.
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # Функция игры
    b = 100000000000000000000000000  # В b и c будут записаны результаты определённых ходов, если они возможны
    c = 100000000000000000000000000
    if first_heap <= 9: # Если камней в куче стало меньше или равно 9
        return 0 # Прекращаем игру
    if first_heap % 3 == 0: # Занесём в b значение функции исходя из кратности числа (по условию)
        b = game(first_heap * 2 // 3) # Уберём треть числа
    if first_heap % 2 == 0: # Занесём в с значение функции исходя из кратности числа (по условию)
        c = game(first_heap // 2)
    moves = [game(first_heap - 1)] # Прописываем ходы возможные в партии
    if b != 100000000000000000000000000:
        moves.append(b)
    if c != 100000000000000000000000000:
        moves.append(c)
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # Проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1 # От лица Пети будет выигрыш (положительное число, прибавляем 1, поскольку это будет уже следующий ход)
    else: # Если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves) # От лица Пети будет проигрыш (отрицательное число)

for i in range(10, 1000): # Переберём возможные значения (единицу не берём из-за возведения в квадрат, ведь программа будет бесконечной)
    if game(i) == -1: # Если в данной позиции возможен выигрыш Вани первым ходом
        print(i) # Выведем нужное значение