1.18 Окружность: вписанная в многоугольник или угол

Пусть дан ромб — центр окружности, вписанной в этот ромб. Т.к. центр окружности, вписанной в многоугольник, лежит на пересечении биссектрис его углов, то — точка пересечения диагоналей ромба (т.к. они являются биссектрисами углов ромба). Пусть — точка касания окружности со стороной Тогда — радиус окружности.

Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам. Следовательно,

Т.к. площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то

Отсюда Следовательно,