Базовый вариант осеннего тура Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами 
и 
Известно, что
вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно 
Подсказка 1
Давайте для начала запишем уравнения наших парабол (удобнее записать их именно через вершины), как нам использовать информацию о том, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе?
Подсказка 2
Конечно же, просто составить систему уравнений! Если вершина первой параболы находится в точке (а₁;b₁), а вершина второй в точке (а₂;b₂), то мы получаем систему из уравнений b₂ = p(а₁ - a₂)² + b₁ и b₁ = q(a₂ - а₁)² + b₂! Остается лишь найти отсюда связь между р и q). Замечание: на самом деле мы можем совместить начало координат с вершиной одной из парабол, тогда неизвестных станет на две меньше
Подсказка 3
Нетрудно заметить, что коэффициенты перед р и q в наших уравнениях совпадают, если мы сложим уравнения, то b₁ и b₂ сократятся, а из полученного равенства легко можно будет найти искомую сумму (однако не забудьте предварительно рассмотреть случай равенства а₁ = a₂!)
Первое решение. Без ограничений общности можно считать, что вершина первой параболы — точка 
. Пусть вершина второй —
Тогда уравнения парабол имеют вид: 
и 
причём 
и 
. Отсюда 
. Если
, то и 
, но вершины парабол различны, поэтому 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Пусть 
и 
— вершины парабол. Рассмотрим третью параболу, симметричную первой относительно середины
отрезка 
. Она имеет вершину 
и содержит точку 
. Поскольку парабола однозначно определяется своей вершиной и ешё
одной точкой, третья парабола совпадает со второй. Значит, старшие коэффициенты исходных парабол отличаются только
знаком.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
