Тема ПитерГор (Санкт-Петербургская олимпиада)

Отбор Питергора

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела питергор (санкт-петербургская олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73373

Многочлен степени $10$ имеет три различных корня. Какое наибольшее количество нулевых коэффициентов у него может быть?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте сделать какую-то грубую оценку. Например, что можно сказать про многочлен, у которого 10 нулевых коэффициентов?

Подсказка 2

Также можете попробовать придумать какой-то простой пример многочлена, у которого 3 корня и много нулевых коэффициентов.

Показать ответ и решение

Предположим, что у многочлена один ненулевой коэффициент, тогда он имеет вид $kx10$ и имеет лишь один корень $x= 0,$ противоречие. Зато многочлен $10 8 x − 4x$ уже имеет три корня $0,±2.$ То есть $9$ — наибольшее количество.