Тема ПитерГор (Санкт-Петербургская олимпиада)

Отбор Питергора

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела питергор (санкт-петербургская олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73373

Многочлен степени $10$ имеет три различных корня. Какое наибольшее количество нулевых коэффициентов у него может быть?

Показать ответ и решение

Предположим, что у многочлена один ненулевой коэффициент, тогда он имеет вид $kx10$ и имеет лишь один корень $x= 0,$ противоречие. Зато многочлен $10 8 x − 4x$ уже имеет три корня $0,±2.$ То есть $9$ — наибольшее количество.

Ответ:

$9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79248

Клетки доски $20× 20$ покрашены в шахматном порядке. Стоящая на доске фигура кузнечик держит под боем все клетки своей горизонтали, имеющие тот же цвет, что и клетка, на которой она стоит, а также все клетки своей вертикали, имеющие противоположный цвет. (Чтобы побить какую-то клетку, кузнечик может перепрыгивать через другие фигуры.) Какое наибольшее число не бьющих друг друга кузнечиков можно расставить на этой доске?

Источники: СПбГОР - 2018, отбор, 9.2(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать ответ и решение

Оценка. В каждой горизонтали может стоять не более двух кузнечиков. Действительно, если в какую-либо горизонталь поставить трёх кузнечиков, какие-то два обязательно окажутся на клетках одинакового цвета, и значит, будут бить друг друга. Поскольку доска содержит $40$ горизонталей, число кузнечиков не может превышать $2⋅20.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример. Существует много оптимальных расстановок, Например, достаточно занять кузнечиками $4$ вертикальных ряда, как показано на рисунке: