Тема Росатом

Отбор Росатома

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78846

Блоха Кузя может совершать прыжки из каждой вершины правильного тетраэдра $ABCD$ в три соседние вершины, причем выбор этих вершин случайный и равновозможный. Прыгать Кузя начала из вершины A и, совершив 2020 прыжков, опять оказалась в той же вершине. С какой вероятностью это могло произойти?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

2020 прыжков довольно много, давайте рассмотрим конкретный прыжок на каком-то k-ом шаге, с какой вероятностью она сможет попасть в A?

Подсказка 2

Верно, есть 2 случая: она в самой вершине A, тогда за 1 шаг ничего не получится или не в A, тогда вероятность равна 1/3, а можем ли мы как-то обобщить наш результат, получить такую формулу, чтобы по кол-ву шагов знать вероятность попадания в A на следующем шаге?

Подсказка 3

Давайте начнём строить нашу последовательность p_n, где p_n - вероятность попасть в A на n-ом шаге. Очевидно, что p_0 = 1 (мы стартуем из A), p_1 = 0 (мы точно ушли из A), p_2 = 1/3 (пойти в обратном направлении), p_3 = (1-p_2)*1/3 = 1/3 - 1/9 (не пойти в обратном направлении на шаге 2, но вернуться в точку A на шаге 3). Аналогично, выписывая последующие члены последовательности получите предположение об общей формуле

Подсказка 4

pₙ = 1/3 - 1/9 + 1/27 + ... + (-1)ⁿ/(3ⁿ⁻¹), давайте докажем её по индукции! (тут нужно брать n = 2 для базы)

Показать ответ и решение

Рассмотрим некоторый промежуточный шаг в движении Кузи. Если она на этом шаге находится в точке $A$ , то вероятность попасть в $A$ на следующем шаге равна нулю. Если же она находится в любой из оставшихся точек $B,C$ или $D$ ,то вероятность попасть в $A$ на следующем шаге равна $1 3$ , так как из каждой такой точки есть три равновозможных пути, только один из которых приводит в $A$ . Пусть $pk$ — вероятность того, что на $k−$ ом шаге блоха находится в точке $A$ . Соответственно не в точке $A$ она находится с вероятностью $1− pk$ . Тогда на следующем шаге она окажется в $A$ с вероятностью

1 1 pk+1 = (1− pk)⋅3 +0 ⋅pk = (1− pk)⋅3

Таким образом, $p0 = 1$ (так как изначально блоха в точке $A$ ), $p1 =0, p2 = 13,$

( ) p3 = 1− 1 ⋅ 1= 1 − 1, ..., 3 3 3 9

Можно заметить закономерность и заключить при $n≥ 2$

p = 1− 1 +-1 ⋅⋅⋅+ (−-1)n- n 3 9 27 3n−1

Видим, что $p n$ представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем равным $− 1. 3$ Следовательно,

1− (−1)n−1 n−1 n pn = 1⋅----3n1−1-= 3---+n(−−11) 3 1 +3 4⋅3

32019+-1 P(A)= p2020 = 4⋅32019

Замечание. Чтобы решение было более обоснованным, формулу для $pn$ при $n≥ 2$ можно доказать методом математической индукции.

База:

(−1)2 1 p2 = 32−-1 = 3

Шаг: пусть формула верна для $n= k$ , то есть

k pk = 1− 1 +-1 ⋅⋅⋅+ (−k1)−1 3 9 27 3

Тогда

1 ( 1 1 1- (−1)k) 1 pk+1 = (1− pk)⋅3 = 1 −3 + 9 − 27 + ⋅⋅⋅− 3k−1 ⋅3 =

k+1 k+1 = 1− -1- +-1- − -1--+⋅⋅⋅+ (−1k−)1- = 1− 1 + 1-⋅⋅⋅+ (−-1)k-- 3 3⋅3 9 ⋅3 27 ⋅3 3 ⋅3 3 9 27 3

то есть формула верна и для $n= k+ 1$ . А значит, верна и при любых $n ≥2.$

Ответ:

$32019-+1 4⋅32019$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#66865

Один из попугаев всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий — хитрец — иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос: «Кто Кеша?» — они ответили: Гоша: — Лжец. Кеша: — Я хитрец! Рома: — Абсолютно честный попугай. Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

Источники: Росатом-18, отборочный тур, 9.2 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем по отдельности разобрать случаи, начиная, например, с Гоши. К примеру: "Пусть Гоша сказал правду, тогда..." и "Пусть Гоша соврал, тогда...".

Подсказка 2

Если Гоша сказал правду, то Кеша лжец. Что тогда сказал Рома и кем он может быть? Если же Гоша сказал неправду, то Кеша хитрец или рыцарь. Рассмотрим фразу Кеши и разберем обе его возможных роли. Остается лишь подумать, кем может быть Рома?)

Показать ответ и решение

Если Гоша сказал правду, то Кеша лжец. Противоречия нет — ведь тогда он действительно соврал. При этом Рома также соврал, поэтому он должен быть хитрецом. Гоша, соответственно, рыцарь.

Если Гоша соврал, то Кеша хитрец или рыцарь. Из его фразы мы можем сделать вывод, что он хитрец, потому что рыцарь бы назвался собой. Тогда Рома лжец, ведь место хитреца уже занято, а он солгал. Но Гоша также соврал, назвав хитреца Кешу лжецом, поэтому среди попугаев не может быть рыцаря. Получаем противоречие.

Ответ:

Кеша лжец, Рома хитрец

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел