Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Отбор Формулы Единства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72123

Существует ли функция, значения которой и её 2007 производных при $x= 2007$ равны $2007$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте выпишем все условия, которые у нас есть. Видим, что значение функции в точке 2007 равно значению её производной в этой точке. А есть ли такая функция, производная которой равна ей же самой?

Подсказка 2

Конечно, это функция e^x! Но е²⁰⁰⁷ ≠ 2007. Как бы нам изменить эту функцию, чтобы мы смогли поставить знак равенства?

Подсказка 3

Да, нужно просто поставить подходящий коэффициент перед е²⁰⁰⁷. Чему он должен быть равен, чтобы f(2007) = 2007?

Подсказка 4

Просто решаем уравнение k ⋅ е²⁰⁰⁷ = 2007 и получаем коэффициент! Остаётся сказать, что при взятии следующих производных значение не поменяется, тогда такая функция подходит

Показать ответ и решение

Выпишем условия на функцию $f(x):$

( f(2007) =2007 ||||| ′ |{ f(′′2007)= 2007 ||| f (2007)= 2007 |||( ...(2007) f (2007) =2007

Следовательно, $f(2007)= f′(2007)$ . Известная функция, для которой $f(x)= f′(x)$ , это $f(x)= ex$ , но $f(2007) =e2007 ⁄= 2007$ . Рассмотрим функцию похожего вида $ex f(x)= k$ и подберем такое $k$ , чтобы выполнялось $f(2007)= 2007:$