Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

Отбор БИБНа

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73365

Известно, что свободный член $α 0$ многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами по модулю меньше 100, а $P(20)= P(16)=2016.$ Найдите $α0.$

Источники: Отборочный этап олимпиады БИБН - 2016 (адаптация задачи 10.6 с Регионального этапа ВсОШ - 1994)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть смысл рассматривать не многочлен P(x), а многочлен P(x) - 2016, ведь у него мы знаем два корня.

Подсказка 2

Понятно, что мы можем записать многочлен P(x) - 2016, как (x - 20)(x - 16)Q(x). Попробуйте выразить P(0).

Показать ответ и решение

Из условия следует, что

P(x)− 2016 =(x− 20)(x− 16)Q(x)

где $Q (x)$ — некоторый целочисленный многочлен.

Как известно, свободный член многочлена равен его значению в нуле. Тогда

P(0)= 2016+ 320Q (0)

Из условия

−100≤ 2016+ 320Q (0)≤ 100

получаем, что $Q(0)= −6,$ а свободный член равен $96.$

Ответ:

$96$

Бандлы и наборы

Курсы

Интенсивы