Отбор Иннополиса

Заметим, что количество положительных решений равно количеству отрицательных, ввиду нечётности функций в обеих частях уравнения, а является решением, так как Поэтому будет искать корни при Так же из-за нечётности функций количества решений при и при равны, поэтому будем искать число решений для положительного

На промежутке левая часть уравнения равна просто по определению арксинуса. Пусть где Тогда

Получается, функция — это периодическая функция с периодом и наибольшим значением равным

достигаемым при

При этом на промежутках функция монотонна и принимает все значения от до

Функция — это возрастающая прямая, проходящая через точки и Получается, прямая может пересекать только при Более того, на промежутке есть ровно одно решение уравнения — нулевое. Отсюда, все положительные решения лежат в промежутке

Заметим, что на каждом промежутке монотонности может быть не более одного решения. Посчитаем, сколько промежутков монотонности до Пусть

Тогда — единственное целое число на промежутке

Тогда количество промежутков монотонности до равно

Если — чётное, то и на последнем промежутке монотонности есть решение, а если — нечётное, то решения на этом промежутке нет.

Итак, количество положительных решений равно где — остаток при делении на 2. Тогда всего решений

Пример расположения графиков и относительно друг друга при