Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Тригонометрия на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68021

Тройка действительных чисел $A,B,C$ такова, что

sinA +sinB + sinC =0

cosA+ cosB+ cosC = 0

Найти значение выражения

cos(A − B)+ cos(B − C)+cos(C − A )

Показать ответ и решение

Возведём в квадрат каждое из двух уравнений:

({ sin2A+ sin2B +sin2C +2 sinAsin B+ 2sinB sinC +2sin AsinC = 0 ( cos2A+ cos2B + cos2C+ 2cosAcosB + 2cosB cosC +2 cosAcosC =0.

Сложим эти уравнения, используя $sin2α +cos2 α= 1,cos(α− β)= cosα cosβ+ sinα sinβ.$ Получим:

3+2(cos(A− B)+ cos(B− C)+ cos(C− A))=0

3 cos(A− B)+ cos(B− C)+ cos(C− A)= −2.

Ответ:

$− 3 2$