Комбинаторика на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для бесконечной последовательности 
её первая производная — это последовательность 
(где 
а её
-я производная — это первая производная её 
-й производной 
Назовём последовательность хорошей, если она и все
её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если 
и 
— хорошие последовательности, то и
— хорошая последовательность.
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем доказать некоторые простые свойства производной последовательности. Например, производная суммы равна сумме производных.
Подсказка 2
Теперь попробуйте показать, что вторая производная последовательности aₙbₙ состоит только из положительных чисел. Не забывайте использовать, что последовательности a и b — хорошие.
Подсказка 3
Попробуйте расширить рассуждения из предыдущей подсказки. Пусть есть некоторые хорошие последовательности a_m и b_k. Что можно сказать про вторую производную последовательности a_m • b_k?
Сначала докажем два вспомогательных утверждения.
Утверждение 1. Покажем, что при таком определении производной для последовательности выполняется: производная суммы — это сумма производных.
Пусть дана последовательность, являющаяся суммой нескольких других последовательностей:
где 
— какие-то 
произвольных последовательностей. Тогда производная этой суммы:
В силу произвольности 
наше утверждение доказано.
Утверждение 2. Пусть 
и 
— две произвольные хорошие последовательности. Тогда покажем, что
производная произведения двух произвольных членов этих последовательностей положительна. То есть для всех 
выполнено:
А также, что производная состоит из суммы слагаемых того же вида — произведений членов из двух хороших последовательностей.
Запишем по определению производной:
Так как обе последовательности хорошие, то полученное выражение положительно, и каждое из слагаемых — произведение членов хороших последовательностей. Следовательно, утверждение доказано.
Теперь вернёмся к решению задачи. Пусть 
Тогда по утверждению 2 для любого 
Значит, первая производная 
(и, соответственно, произведения любых двух хороших последовательностей) состоит из положительных
чисел.
Кроме того, мы представили 
в виде суммы двух произведений хороших последовательностей. Далее по индукции, используя
утверждения 1 и 2, получаем, что и все производные 
состоят из положительных чисел.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
