Комбинаторика на устном туре Турнира Городов

Назовем слова, которые можно получить, достижимыми. Всего существует различных слов длины поэтому достаточно доказать, что количество достижимых слов длины равно Докажем это утверждение по индукции.

База индукции. Для и это легко проверяется: А АА, А АБ.

Шаг индукции. Пусть для всех длин, не превосходящих утверждение верно. Посмотрим, как можно получить слово длины

1.

из слова длины применив операцию а): W АW

2.

из слова длины применив операцию б): W WБ

3.

из слова длины применив операцию в): W БWА

Слов 1-го и 2-го типа по а слов 3-го типа При этом слова 3-го типа не могут совпадать со словами 1-го и 2-го типа. А вот множества слов 1-го и 2-го типа пересекаются. Их общие слова имеют вид АБ. Докажем, что слова (которые находятся между буквами А и Б) — это все достижимые слова длины Понятно, что если — достижимое слово, то за две операции из него можно получить АБ. С другой стороны, если слово Б достижимое, то посмотрим, как оно было получено. Если проделать все те же операции, но пропустить приписывание последней буквы Б, то будет получено слово значит, оно достижимое.

Таким образом, общих слов 1-го и 2-го типа столько же, сколько достижимых слов длины то есть Следовательно, количество слов длины равно что и требовалось доказать.