Комбинаторика на устном туре Турнира Городов

Оценка.

Можно считать, что первый наклеенный кусок — весь квадрат, от этого ничего не испортится. Считаем его нулевым. Докажем индукцией по утверждение:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

После еще кусков между любыми двумя клетками есть путь с не более чем сменами цвета.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База при верна.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рассмотрим наклеивание -го куска . Пусть до этого между двумя клетками был путь с не более сменами цвета. Если он не заходил в , то он таким и остался. Иначе заменим его кусок от первой его клетки в до последней такой клетки на путь по между этими клетками. Тогда количество смен цвета в новом пути увеличилось не более чем на 2 по сравнению со старым. Переход доказан.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В конце между противоположными углами любой путь имеет хотя бы 88 смен цвета. Значит, поверх нулевого куска наклеено еще хотя бы 44.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример.

Пусть верхний слой состоит из центральной клетки. Далее пусть каждый нижележащий слой состоит из клеток предыдущего слоя и из клеток, примыкающих к ним по стороне, и имеет противоположный цвет.