Последовательности нестандартного вида

Докажем индукцией по что первые элементов состоят из чисел

(с учётом повторяющихся значений, в произвольном порядке) для некоторого и такого что

Для имеем это подходит. Теперь положим, что для элементы равны

для некоторого такого, что

По условию имеем:

Если использовать предположение, равенство примет вид:

Применим равенство для каждого слагаемого из второй скобки:

Вспомним известное тождество:

Посредством вычитания из одного равенства другое получаем, что

Получаем, что либо либо В любом случае соответствует требуемому виду, что доказывает утверждение.

Таким образом, любое целое число возникает в последовательности при